Econometría II: ETS

Departamento de Economía

Carlos A. Yanes G.

2023-09-20

Paquetes con que se trabaja la sesión

Los paquetes que vamos a utilizar en la sesión de hoy son:

Note

Para trabajar en esta ocasión vamos a usar los paquetes de :

library(pacman)
p_load(readxl, TSstudio, tidyverse, stats, urca, forecast, ggfortify, ggplot2, tseries, fpp2))

Preambulo

ETS

  • Regresamos por un momento a los modelos de suavizado exponencial.

  • Miramos entonces la aplicación de los modelos de tipo espacio- estado

  • Son modelos que terminan siendo una combinación entre paramétricos y aquellos que no lo son, es algo como un método tipo (“fusión”).

  • Mas allá de los auto.arima, son algoritmos que también minimizan la composición del RMSE de cada modelo que se estima y combina

Concepto técnico

Note

La familia de modelos ETS se definen como métodos y parámetros para los componentes (error, tendencia y estacionalidad) en una serie de tiempo, por eso se les conoce como ETS. Si se especifica más de un método dentro de la función, ETS considerará todas las combinaciones de los modelos especificados y seleccionará el modelo que mejor se ajuste a los datos (minimizando AICc).

Especificación

Tabla de Componentes
Ninguno Aditivo Multiplicativo
N (N,N) (N,A) (N,M)
A (A,N) (A,A) (A,M)
\(A_d\) (\(A_d\),N) (\(A_d\),A) (\(A_d\),M)

Significado

  • (N, N): Hace referencia a un modelo de suavizado simple
  • (A, N): Referencia a un modelo Holt winters lineal
  • (\(A_d\), N): Referencia a un modelo de tendencia armónica
  • (A, A): Referencia a un modelo Holt winters aditivo
  • (A, M): Referencia a un modelo Holt winters multiplicativo
  • (\(A_d\), M): Referencia a un modelo Holt winters multiplicativo armónico

Especificación

  • Cada modelo tiene una ecuación o parte que se observa y también una parte que denominaremos transición, una para cada estado de (nivel, tendencia, y parte estacional), es decir, modelos en conformidad de espacio de estado.

  • Para este propósito vamos a suponer que tenemos dos modelos para cada método: uno con errores aditivos y otro con errores multiplicativos, es decir, en total mas o menos en conformidad da unos 18 modelos.

    • ETS(Error,Tendencia,Estacional):
      • Error \(=\{A,M\}\)
      • Tendencia \(=\{N,A,A_d\}\)
      • Estacional \(=\{N,A,M\}\).

Modelo ETS y SS (Space-State)

Métodos de suavizado exponencial: Los algoritmos devuelven previsiones puntuales.

Modelos Espacio-Estado:

  • Generan las mismas previsiones puntuales pero también pueden generar intervalos de previsión.
  • Un proceso estocástico (o aleatorio) de generación de datos que puede generar una distribución de previsión completa.
  • Permiten una selección “adecuada” del modelo.

Grupo de modelos aditivos

Tabla de Componentes Aditivos
Ninguno Aditivo Multiplicativo
N (A,N,N) (A,N,A) (A,N,M)
A (A,A,N) (A,A,A) (A,A,M)
\(A_d\) (A,\(A_d\),N) (A,\(A_d\),A) (A,\(A_d\),M)

Grupo de modelos multiplicativos

Tabla de Componentes Multiplicativos
Ninguno Aditivo Multiplicativo
N (M,N,N) (M,N,A) (M,N,M)
A (M,A,N) (M,A,A) (M,A,M)
\(A_d\) (M,\(A_d\),N) (M,\(A_d\),A) (M,\(A_d\),M)

Aplicando a los ETS lo SS

  • (A,N,N): Simple exponential smoothing con errores aditivos
  • (A,A,N): Método lineal de Holt Winters con errores aditivos
  • (M,A,M): Multiplicativo de Holt-Winters con errores multiplicativos

Aplicando a los ETS lo SS

Predicción

Este método incorpora la especificación mas sencilla y nos dice que:

\(Y_{t+h|t}=F_{t}\) que conoceremos como ecuación de pronostico.

\[F_t=\alpha y_t+ (1-\alpha)F_{t-1}\] Tenemos un error de pronostico y es:

\[e_t=y_t- y_{t|t-1}=y_t - F_{t-1}\] Y planteamos la corrección:

\[\begin{aligned} y_t&=F_{t-1}+ e_t\\ F_t&=F_{t-1}+ \alpha(y_t- F_{t-1})\\ &=F_{t-1}+ \alpha e_t \end{aligned}\]

Un ejemplo de ETS(A,N,N)

Ecuación de medida \(y_t=F_{t-1}+\epsilon_t\) Ecuación de estado \(F_t=F_{t-1}+ \alpha \epsilon_t\)

Donde \(\epsilon_t\sim (0, \sigma^2)\)

  • La innovación o simple fuerza del error
  • La ecuación de medida contiene la relación entre observaciones y estado
  • Hay que tener presente la ecuación de transición

Nuevamente lo práctico

Datos

Cartera comercial de bancos

ETS un paso a la vez

Code 
cartera %>% decompose()
$x
          Jan      Feb      Mar      Apr      May      Jun      Jul      Aug
2016 367822.1 372017.9 371504.5 373540.2 378922.9 381252.9 384245.6 385870.2
2017 389852.2 393366.3 394979.5 397288.4 399964.5 403662.3 403451.3 404165.9
2018 410308.2 412205.1 414766.3 416397.9 419080.9 420973.1 420294.1 421235.2
2019 433608.6 438173.4 441902.2 444898.5 449547.2 451756.4 454250.3 458674.4
2020 472036.3 478144.4 496248.9 499381.2 500477.1 501224.8 497737.8 492528.9
2021 485300.9 489968.3 492815.4 496422.9 500597.8 505475.2 510043.2 515702.4
2022 544147.8 554838.4 563242.2 573378.8 582534.2 593664.9 601094.8 608790.9
2023 633633.3 637485.1 636143.1 638791.7                                    
          Sep      Oct      Nov      Dec
2016 387285.4 388795.6 392844.9 393753.7
2017 407058.0 408665.0 411022.7 413309.0
2018 423279.1 428474.8 434026.8 437514.9
2019 464159.0 466107.9 472113.6 472288.1
2020 490861.8 489415.5 488959.8 487225.6
2021 522266.9 527621.2 537485.1 543515.2
2022 616944.7 624696.6 630909.7 636903.2
2023                                    

$seasonal
             Jan         Feb         Mar         Apr         May         Jun
2016 -5082.03932 -2895.68791   171.16202   906.99203  1687.85623  2438.60537
2017 -5082.03932 -2895.68791   171.16202   906.99203  1687.85623  2438.60537
2018 -5082.03932 -2895.68791   171.16202   906.99203  1687.85623  2438.60537
2019 -5082.03932 -2895.68791   171.16202   906.99203  1687.85623  2438.60537
2020 -5082.03932 -2895.68791   171.16202   906.99203  1687.85623  2438.60537
2021 -5082.03932 -2895.68791   171.16202   906.99203  1687.85623  2438.60537
2022 -5082.03932 -2895.68791   171.16202   906.99203  1687.85623  2438.60537
2023 -5082.03932 -2895.68791   171.16202   906.99203                        
             Jul         Aug         Sep         Oct         Nov         Dec
2016   936.05336    38.07092   437.96178   415.53401   987.80475   -42.31324
2017   936.05336    38.07092   437.96178   415.53401   987.80475   -42.31324
2018   936.05336    38.07092   437.96178   415.53401   987.80475   -42.31324
2019   936.05336    38.07092   437.96178   415.53401   987.80475   -42.31324
2020   936.05336    38.07092   437.96178   415.53401   987.80475   -42.31324
2021   936.05336    38.07092   437.96178   415.53401   987.80475   -42.31324
2022   936.05336    38.07092   437.96178   415.53401   987.80475   -42.31324
2023                                                                        

$trend
          Jan      Feb      Mar      Apr      May      Jun      Jul      Aug
2016       NA       NA       NA       NA       NA       NA 382405.9 384213.4
2017 393459.3 395021.9 396608.0 398259.8 399845.1 401417.3 403084.4 404721.7
2018 412485.4 413898.4 415285.5 416786.8 418570.7 420537.8 422517.2 424570.1
2019 436807.4 439782.2 443045.5 446316.9 449471.9 452507.7 455557.8 458824.4
2020 479737.5 482960.1 485483.3 487567.0 489240.1 490564.4 491739.5 492784.9
2021 493621.9 495100.2 497374.3 500274.7 503888.5 508255.8 513053.2 518208.0
2022 551163.8 558836.3 566659.9 574649.6 582587.2 590371.0 597990.7 605162.9
2023       NA       NA       NA       NA                                    
          Sep      Oct      Nov      Dec
2016 386081.0 388048.6 389914.9 391725.3
2017 406331.1 407951.8 409544.5 411062.3
2018 426782.7 429100.9 431557.9 434109.9
2019 462754.3 467288.9 471681.0 475864.3
2020 493134.5 492868.2 492749.9 492932.1
2021 523845.4 529986.4 536606.9 543695.5
2022 611644.1 617407.1       NA       NA
2023                                    

$random
            Jan        Feb        Mar        Apr        May        Jun
2016         NA         NA         NA         NA         NA         NA
2017  1474.9548  1240.0969 -1799.7279 -1878.3480 -1568.4220  -193.5957
2018  2904.8384  1202.3694  -690.3693 -1295.8385 -1177.6981 -2003.3241
2019  1883.1802  1286.8517 -1314.5397 -2325.4296 -1612.5977 -3189.9430
2020 -2619.1119 -1920.0087 10594.4290 10907.1648  9549.0971  8221.7054
2021 -3238.9310 -2236.1483 -4730.0224 -4758.7889 -4978.6191 -5219.2190
2022 -1934.0196 -1102.2501 -3588.8588 -2177.8490 -1740.8493   855.2874
2023         NA         NA         NA         NA                      
            Jul        Aug        Sep        Oct        Nov        Dec
2016   903.6359  1618.7976   766.4621   331.4741  1942.2477  2070.6998
2017  -569.1604  -593.8875   288.9366   297.6645   490.3594  2289.0063
2018 -3159.1643 -3372.9394 -3941.5967 -1041.6734  1481.1088  3447.2518
2019 -2243.4943  -188.0823   966.7235 -1596.4451  -555.2728 -3533.9104
2020  5062.2575  -294.0450 -2710.6127 -3868.1879 -4777.9585 -5664.2020
2021 -3945.9952 -2543.6719 -2016.4945 -2780.7262  -109.5739  -137.9346
2022  2167.9835  3589.8913  4862.6444  6873.9566         NA         NA
2023                                                                  

$figure
 [1] -5082.03932 -2895.68791   171.16202   906.99203  1687.85623  2438.60537
 [7]   936.05336    38.07092   437.96178   415.53401   987.80475   -42.31324

$type
[1] "additive"

attr(,"class")
[1] "decomposed.ts"

Miramos el comportamiento de cada componente

Grafico de serie decompuesta

Code 
cartera %>% decompose() %>% plot()

Modelo ETS

Code 
ets(cartera)
ETS(M,A,N) 

Call:
 ets(y = cartera) 

  Smoothing parameters:
    alpha = 0.9999 
    beta  = 0.2908 

  Initial states:
    l = 368019.5713 
    b = 2436.7326 

  sigma:  0.0072

     AIC     AICc      BIC 
1828.712 1829.443 1841.098

Qué significa lo anterior

  • Un modelo Holt-Winters con errores multiplicativos.
  • Asuma por ende que \(\frac{y_t-(F_{t-1}+b_{t-1})}{(F_{t-1}-b_{t-1})}\)
  • La ecuación entonces es: \[\begin{aligned} y_t&=(F_{t-1}+b_{t-1})(1+ e_t)\\ F_t&=(F_{t-1}+b_{t-1})(1+ \alpha e_t)\\ b_t&=b_{t-1}+ \beta (F_{t-1}+b_{t-1})e_t \end{aligned}\]
  • Donde los parámetros \(\beta=\alpha \beta\) y \(e_t\sim (0, \sigma^2)\)
  • La ecuacion de AICc viene dada por: \[AICc= AIC+ \frac{2(k+1)(k+2)}{T-k}\]

Estimación manual

Code 
ets(cartera, model="AAA", damped=FALSE)
ETS(A,A,A) 

Call:
 ets(y = cartera, model = "AAA", damped = FALSE) 

  Smoothing parameters:
    alpha = 0.9999 
    beta  = 0.134 
    gamma = 1e-04 

  Initial states:
    l = 369682.2186 
    b = 1964.1482 
    s = -41.7029 987.8666 414.9163 437.8564 38.1819 935.9177
           2438.587 1687.61 906.6504 170.7295 -2887.577 -5089.036

  sigma:  3294.709

     AIC     AICc      BIC 
1835.959 1844.702 1878.074

Mirando ajuste

Code 
cartera %>% ets() %>% accuracy()
                   ME     RMSE      MAE         MPE      MAPE       MASE
Training set 3.161877 3404.273 2412.648 0.006306931 0.5082396 0.06374414
                 ACF1
Training set 0.119603
Code 
cartera %>% ets(model="AAA", damped=FALSE) %>% accuracy()
                   ME     RMSE     MAE        MPE      MAPE       MASE
Training set 179.9022 2980.176 2138.64 0.04015126 0.4371295 0.05650461
                  ACF1
Training set 0.4481497

El RMSE del modelo AAA es mejor que el de MAN, sin embargo, en el ME el error es mucho menor y es de considerar todos los criterios también.

Miremos los parámetros del modelo ETS

Code 
cartera %>% ets() %>% autoplot

Ahora el Pronostico

Code 
cartera %>% ets() %>% forecast() %>% autoplot

Gracias por su atención!!

Universidad del Norte